¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de
elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos
ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números
naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales
son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las
distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las
operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de
multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se
dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna
en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número
natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se
crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número
de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues
el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es
cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q
de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro
(salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los
números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades
asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la
adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar
paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque,
cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del
producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque,
cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple
que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva
de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las
ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría
el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas
que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo
mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para
repartir un número de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el
número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el número que le
corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso
contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo
mismo a/b que b/a.
Números Enteros
¿Que son los Números Enteros?
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado
por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de
cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un
cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0
grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al
mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un
número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o
cero, y a -a si es negativo. Es decir:
- si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
- si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre
positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números
enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número
entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo
es múltiplo del divisor.
Suma de Números Enteros
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente
modo:
- Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y alresultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
- 7 + 11 = 18
- -7 - 11 = -18
- Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
- 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
- -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
- 14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades
siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la
suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto
–a,
a + (-a) = 0
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus
valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores
son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos
distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del
signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del
siguiente modo:
+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
La multiplicación de números enteros tiene las
propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la
multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Resta de Números Enteros
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el
opuesto del sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
Para que complementes el estudio sobre los numeros enteros te invito a ver el siguiente vídeo dando clic AQUÍ
Para que complementes el estudio sobre los numeros enteros te invito a ver el siguiente vídeo dando clic AQUÍ
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