SUMATORIAS
A veces se requiere la suma de grandescantidades de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben
La letra griega sigma mayúscula (S ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.
La notación
se lee:Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.
La letra debajo del operador S se llama índice de la suma; en la expresión
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
- Notación suma abierta.- Esta
notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que
la componen, por ejemplo:
- Notación suma pertinente.-
Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de
cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática
resumida, por ejemplo:
.
Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12
Encontrar:
Solución:
Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:
1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.
Por ejemplo:
2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es
3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:
Propiedades de las sumatorias
La
propiedad telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita
calcular directamente el valor de alguna sumatoria o para demostrar si una
sumatoria es igual a una expresión o fórmula dada, como veremos después en
algunos ejemplos.
Sumatorias
de una sucesión.
A
veces es posible encontrar una fórmula o expresión general para la sumatoria de
los términos de una sucesión, lo que, como veremos, simplifica notablemente el
cálculo de dicha sumatoria.
A
continuación, hallaremos una fórmula para algunas de las expresiones más
usuales.
Sumatoria
de los n primeros números naturales.
EJERCICIOS DE CONCEPTO DE SUMATORIA,
PROPIEDADES, SUCESIONES Y APLICACIÓN DE
FÓRMULAS.
Calcular las siguientes sumatorias:
GUÍA DE EJERCICIOS
2.- Escriba las siguientes expresiones empleando la notación suma pertinente.
a)
Encontrar:
a)
b)
c)
d)
Encontrar
Encontrar:
6.- Denotar que los siguientes pares de expresiones NO son iguales.
Encontrar:
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