ALGEBRA BÁSICA

 ÚLTIMA ACTUALIZACIÓN 7 DE AGOSTO/2015


CONTENIDO DEL CURSO

LECCIÓN 1. POLINOMIOS
LECCIÓN 2. EXPONENTES
LECCIÓN 3. DEFINICIONES BÁSICAS
LECCIÓN 4. LEYES DE LOS EXPONENTES
LECCIÓN 5. EXPONENTES NEGATIVOS
LECCIÓN 6. EXPONENTES FRACCIONAROS
LECCIÓN 7. POLINOMIOS
LECCIÓN 8. COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN 
LECCIÓN 9. TEORIA DE  ECUACIONES 1
LECCIÓN 10. TEORÍA DE ECUACIONES 2
LECCIÓN 11. TEORÍA DE ECUACIONES 3
LECCIÓN 12. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1
LECCIÓN 13. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 2
LECCIÓN 14. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3
LECCIÓN 15. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 4
LECCIÓN 16. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5





LECCIÓN 16. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 15. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 4. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 14. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 13. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 2. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 12. TEORIA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO



LECCIÓN 11. TEORÍA DE ECUACIONES 3. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 10. TEORÍA DE ECUACIONES 2. para ir al link de clik sobre EL TÍTULO

LECCIÓN 9. TEORIA DE  ECUACIONES DE PRIMER GRADO. para ir al link de clik sobre la imagen


LECCIÓN 8. COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN

Para empezar a aprender cómo se resuelve una ecuación es necesario tener en claro qué es una ecuación. Una ecuación es una expresión en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Siempre tendrás un signo de =, indicando que los términos que están del lado derecho tienen el mismo valor que los términos del lado izquierdo. (Los términos son cada una de las cantidades de que están separados por un signo + o -). Las letras que aparezcan en la ecuación son las incógnitas, y para encontrar su valor debes seguir los pasos de cómo se resuelve una ecuación.

El valor de la incógnita, o variable, debe hacer cierta la ecuación, es decir, qué número debe sustituir a la  para que la ecuación sea una expresión verdadera. En el ejemplo debes responder a la pregunta: ¿cuánto debe valer x para que sea cierto que multiplicando x por 2 y sumándole 1 sea 7?

2x+1=7

Sin hacer muchos cálculos se puede deducir que x vale 3:

2(3)+1=7
6+1=7
7=7

¿Cómo se resuelve una ecuación?

En ecuaciones sencillas como la del ejemplo no es muy difícil encontrar el valor de la incógnita sin gran uso de álgebra, pero ¿cómo se resuelve una ecuación más compleja?
Antes de ahondar en el cómo se resuelve una ecuación es importante aclarar que para que se mantenga la relación de igualdad “lo que haces de un lado de la ecuación lo debes hacer el otro” es decir, si sumas, por ejemplo, un 3 al lado derecho, debes también sumar un 3 al lado izquierdo, si multiplicas por 5 el lado izquierdo, debes multiplicar por 5 el lado derecho también. De esta forma el valor del lado derecho sigue siendo el mismo que el del lado izquierdo. Mira:

5(2x+1)=5(7) → multiplicamos ambos lados por 3
10x+5=35
10(3)+5=35
30+5=21
21=21 → se sigue manteniendo la igualdad

Para saber cómo se resuelve una ecuación, el primer paso es dejar todos los términos que contienen la x del mismo lado y pasar el resto al otro. Pero no, no es tan simple como crees… para poder pasar un término a un lado o al otro del = pasas el término con la operación contraria, si se está sumando tú lo pasas restando, y al revés, si se está restando lo pasas sumando.



Después debes reducir los términos semejantes, (dos o más términos son semejantes cuando tienen la mima letra, afectada por el mismo exponente, y se reducen haciendo la operaciones indicadas, + →suma, – → resta). Mira el ejemplo:





Cuando ya tienes únicamente un término de cada lado lo único que falta, para aprender cómo se resuelve una ecuación, es despejar la variable. Posiblemente te preguntaras qué es despejar, pero no te preocupes, no es nada complejo, simplemente es dejar ‘solita’ la  y para poder lograrlo aplicas el mismo principio que usamos para pasar los términos con  a un solo lado: pasas al otro lado ‘todo lo que te estorbe’ con la operación contraria. En el ejemplo ‘nos estorba’ el 18, que está multiplicando a la x, entonces lo pasamos dividiendo al 3




Simplificas, y ¡listo! Has resuelto una ecuación

Comprobación

El valor de la incógnita que hace que la expresión sea cierta es  y lo puedes comprobar sustituyendo  en la ecuación inicial.






Como puedes observar, en ambos lados de la ecuación ha resultado el mismo valor ;).

Cómo resolver una ecuación, cómo resolverla, cómo proceder cuando te enfrentas a una de ellas, es ni más ni menos el punto clave de la lección de hoy. Comienzo por decirte que todo depende de la ecuación de la que estemos hablando y para abordar el tema comenzaré con las ecuaciones más sencillas, vale decir las ecuaciones lineales o de primer grado.
Toma nota y verás que es posible establecer una serie de pasos que serán aplicables a todos los casos que se te presenten en relación a…

Cómo hacer una ecuación

Comienzo por recordarte una definición que ya señalamos cuando abordamos la pregunta ¿qué son ecuaciones lineales?. En los hechos, una ecuación es un enunciado matemático que constituye una igualdad, pero se trata de lo que llamamos una igualdad no evidente. ¿Por qué?  Porque  si bien la expresión a la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión a la derecha, ambas son expresiones algebraicas, donde interviene una o más letras cuyo valor real tratamos de averiguar.
Veamos un ejemplo sencillo

7 x + 1 = 22

En este caso, sólo uno de los miembros de la igualdad (el primero) es una  expresión que contiene una variable. Resolver o hacer  una ecuación implica trabajar con ambos miembros de la igualdad, hasta lograr despejar (aislar) a la variable en el primer miembro de la misma, es decir llegar a una expresión de la forma  x = …. (un valor).
En concreto ¿cuál es el método a aplicar si queremos resolver o hacer una ecuación? El truco es el siguiente: debes elegir convenientemente una operación que vaya dejando aislada a la x en el primer miembro de la igualdad y aplicarla siempre a los dos miembros de la igualdad. Este último punto es muy importante para sostener la igualdad.
Veamos un paso a paso para el ejemplo anterior:

7 x + 1 = 22

Si restamos 1 en ambos miembros de la igualdad (es decir de los dos lados), al operar anularíamos el +1 del primer miembro. Observa:

7 x + 1 -1 = 22 -1

que queda como

7 x      = 21

Si dividimos por 7 en ambos miembros de la igualdad (es decir de los dos lados), al operar quedaría la x sola tal como la queríamos y podemos saber cuál es el valor que buscábamos. Observa:

7 x  / 7  = 21 / 7

x    = 3

¿Es ésta la solución que buscábamos? ¿Cómo sabemos si esta forma de resolver o hacer una ecuación nos ha devuelto el valor correcto de x? Muy sencillo, además de hacer o resolver una ecuación, tú debes verificar el resultado simplemente escribiendo la expresión inicial, pero en vez de x escribes el valor que hallaste, en este caso, 3. Si operas de los dos lados de la igualdad y obtienes una igualdad evidente, será correcta la solución que hallaste. Observa:

7 x + 1     = 22

7 (3) + 1 = 22

21 + 1      = 22

22              = 22

Queda claro que el resultado ha sido correcto, por lo que ahora sí, ya sabes cómo hacer una ecuación: el método es ir operando de ambos lados de la igualdad de tal modo que en el primer miembro de la misma, la x debe ir quedando aislada o despejada.

ECUACIONES CON FRACCIONES

Cómo resolver ecuaciones con fracciones es muy similar a cómo resolver ecuaciones con enteros, pero debes tener en cuenta una serie de reglas básicas que te permitirán manejar las fracciones sin miedo. Una ecuación es fraccionaria si al menos uno de sus términos tiene denominador, es decir, que tengas aunque sea una incógnita dividida entre un número.   
Cómo resolver ecuaciones con fracciones se vuelve mucho más sencillo si suprimes los denominadores y la conviertes en una ecuación con enteros. Te podrás preguntar cómo se convierte esto, pero es muy sencillo: Lo primero que tienes que hacer para saber cómo resolver ecuaciones con fracciones es suprimir los denominadores, o sea encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores que tengas en tu ecuación. (El m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas es la que tenga el coeficiente numérico más pequeño y el exponente menor, que se puede dividir exactamente entre cada una de las expresiones dadas)   En el ejemplo de cómo resolver ecuaciones con fracciones, el m.c.m. entre los denominadores (que son 2, 1 y 4) es 4 porque 4 se puede dividir exactamente entre 2, entre 1 y entre 4, mira Ahora bien, una vez encontrado el m.c.m. de tu expresión, lo que tienes que hacer para continuar en el cómo resolver ecuaciones con fracciones es multiplicar toda la ecuación por ese número. (Recuerda que una ecuación no se altera si haces las mismas 
operaciones de los dos lados del signo igual.) Y listo, lo que sigue para saber cómo resolver ecuaciones con fracciones es encontrar el valor de la incógnita de la misma forma que resolverías una ecuación con enteros: reduces términos semejantes, despejas la incógnita y resuelves.  
En caso de que te encuentres con un numerador con un polinomio (que tenga más de un término, o sea que tenga alguna suma o resta en la parte de arriba de la fraccion) no cambia nada en el cómo se resuelven ecuaciones con fracciones: se realizan los mismos pasos; ahora verás.   
En el ejemplo puedes observar que todos los numeradores son más de un término, pero eso no afecta en nada, tu debes encontrar el m.c.m. de los denominadores: entre los números 1,5, 3 y 6 su m.c.m. es 30, así que multiplicamos toda la ecuación por 30   
Y al eliminar todos los denominadores, entonces resolvemos la ecuación de la misma forma como se resuelve una con enteros: despejando la incógnita.  
En estos dos ejemplos es muy sencillo saber cuál es el m.c.m., pero para el caso de que te encuentres con denominadores más complejos, te explico una manera sencilla de encontrar el m.c.m. de cualquier combinación de números, siempre y cuando sean monomios.

1. Se descomponen los coeficientes de cada número dado en factores primos (o sea los número que solo pueden dividirse entre sí mismos y entre 1, como 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19,23..) elevados a un cierto exponente.
2. Tomamos todas las literales que existen en al menos un  término dado con el mayor exponente encontrado.
3. Tomamos todos los números primos encontrados con el exponente mayor encontrado.

Mira el ejemplo:



Por lo tanto el m.c.m. es 

ECUACIONES CON RADICALES

Para resolver las Ecuaciones con Radicales, nos apoyamos en la siguiente propiedad: “Cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuación propuesta”, sin embargo, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtienen valores para la incógnita, que pueden resultar incorrectos para la ecuación original; estos valores se denominan, Raíces Extrañas de la Ecuación, esto sucede porque los radicales de índice con número par, presentan problemas de indefinición  con sub radicales negativos.

Ecuaciones con radicales:

Lo primero que debemos tener en cuenta es el orden de los pasos que necesitamos para resolver una ecuación que contiene radicales:
1. Se deja en uno de los miembros un sólo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.
2. Los mienbros de la ecuación obtenida se elevan al cuadrado, al cubo, etcétera, y se igualan entre sí dependiendo del índice de la raíz involucrada.
3. Si la ecuación que obtengas no contiene radicales la podemos resolver normalmente, si por el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta que obtengas una ecuación sin radicales, y  luego resuelves esta última ecuación.
4. Ahora es necesario que sustituyas los valores obtenidos en el paso anterior, en la ecuación original  y ya puedes determinar las raíces extrañas.
El proceso de liberar la ecuación de radicales lo conocemos con el nombre de racionalización de la ecuación.
En los siguientes ejemplos puedes encontrar diferentes formas de solucionar las ecuaciones con radicales:
Primer ejemplo:
√ (x + 3) = 4

Al sustituir x=13 en la ecuación original para revisar si es una raíz extraña o no, nos percatamos que =4, es correcta. Por tanto. S = {13 }.
Segundo ejemplo:
√(2x²-1) =x

Si sustituimos x= -1 en la ecuación original, obtenemos: √2(-1)²-1= (-1)
Podemos observar que el miembro derecho no puede ser negativo, es decir; =-1, por esta razón, descartamos -1 por ser una raíz extraña y ubicamos x=1, entonces tenemos S = {1}.

Tercer ejemplo:

√(4x²-15) -2x = -1

Al sustituir el x=4 en la ecuación original se tiene:

√(4.42-15)- 2 . 4 = -1
√(4.16-15)- 8 = -1
√(64-15)- 8 = -1
 √(49)- 8 = -1
7-8=-1.
Esta solución es la correcta y se toma como: S = {4}.

Recuerda seguir practicando operaciones con números radicales, próximamente tendremos nuevos artículos con ejemplos y ejercicios sobre el tema para que puedas seguir profundizando tus conocimientos

LECCIÓN 7.  POLINOMIOS

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos

Están hechos de:

	constantes (como 3, -20, o ½)
	variables (como x e y)
	exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - ×	sumas, restas y multiplicaciones...
	... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

• 3x
• x - 2
• 3xyz + 3xy²z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

• 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
• 3xy^-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

• x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
• también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres? ¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)

Muchos términos

Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?

Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:

• Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
• Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

septiembre 11/2014

LECCIÓN 6.  EXPONENTES  FRACCIONARIOS

También se llaman "radicales"

Exponentes

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Exponentes fraccionarios: ½

En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x^½ ?

Respuesta: x^½ = la raíz cuadrada de x   (o sea x^½ = √x)

¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x^½ tienes: (x^½)² = x¹ = x

Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:

1	Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n (Porque primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces) Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6 Así que (x2)3 = x2×3 = x6
2	Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½: (x½)2 = x½×2 = x1 = x Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la raíz cuadrada de x

Probamos con otra fracción

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

¿Qué es x^¼?

(x^¼)⁴ = x^¼×4 = x¹ = x
Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x^¼ = la raíz cuarta de x

Regla general

De hecho podemos hacer una regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Ejemplo: ¿Cuánto es 27^1/3 ?

Respuesta: 27^1/3 = 27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

• una parte con un número entero, y
• una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

Ejemplo: ¿Cuánto es 4^3/2 ?

Respuesta: 4^3/2 = 4^3×(1/2) = √(4³) = √(4×4×4) = √(64) = 8

Agosto 26/2014

LECCIÓN 5.  EXPONENTES  NEGATIVOS

A los exponentes también se los llama índices.

El exponente de un número nos dice cuántas veces debemos usar ese número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se podría llamar "8 elevado al 2" o simplemente "8 al cuadrado".

Entonces, en general:

an te dice que multipliques a por sí misma un número n de veces:

Pero esos son exponentes positivos, ¿qué pasa si tenemos algo como…?

8^-2

Este exponente es negativo ... ¿qué quiere decir?

Exponentes Negativos

¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación.

Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número.

Por ejemplo: 8^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

O muchas divisiones:

Por ejemplo: 5^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008

Pero se puede hacer de una forma más fácil:

5^-3 también podría calcularse así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5³ = 1/125 = 0,008

El ultimo ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes negativos: Calcula el exponente (an) Luego utiliza su Inverso (1/an)

Para cambiar el signo (más a menos, o menos a más) de el exponente usa el Recíproco (es decir, 1/aⁿ)

Entonces, ¿cómo sería 8^-2 ?

Por ejemplo: 8^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8² = 1/64 = 0,015625

Más ejemplos:

Exponente negativo		Inversa de un exponente positivo		Respuesta
4-2	=	1 / 42	=	1/16 = 0,0625
10-3	=	1 / 103	=	1/1.000 = 0,001

Todo Tiene Sentido

Mi método favorito es comenzar con “1” y luego multiplicar o dividir tantas veces como el exponente me diga. Así obtendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: Exponentes de 5
	.. etc..
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0,2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, el cero o los exponentes negativos son parte del mismo modelo (bastante simple).

Agosto 20/2014

LECCIÓN 4. LEYES DE LOS EXPONENTES

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

	El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
	Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir
	Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley	Ejemplo
x1 = x	61 = 6
x0 = 1	70 = 1
x-1 = 1/x	4-1 = 1/4
xmxn = xm+n	x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n	x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn	(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn	(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn	(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn	x-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x¹ = x, x⁰ = 1 y x^-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0,2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0)	0n = 0
Exponente negativo (n<0)	¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0	Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

	x0 = 1, así que ...	00 = 1
	0n = 0, así que ...	00 = 0
	Cuando dudes...	00 = "indeterminado"

Agosto16/2014

LECCIÓN 3: DEFINICIONES BÁSICAS

Qué es una ecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x

+

2

=

6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

	Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
	Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!

El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 82 = 8 × 8 = 64 y3 = y × y × y y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y⁴z² es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

Polinomio

Un ejemplo de un polinomio: 3x² + x - 2

Un polinomio puede tener constantes, variables y los exponentes 0,1,2,3,...
Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones... ¡pero no divisiones!

Monomio, binomio, trinomio

Hay nombres especiales para polinomios con 1, 2 o 3 términos:

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x²) son los mismos.
En otras palabras, términos que "se parecen". (Nota: los coeficientes pueden ser distintos)

Ejemplos:

Términos				Por qué son "similares"
	7x	x	-2x	porque las variables son todas x
	(1/3)xy2	-2xy2	6xy2	porque las variables son todas xy2

Puedes sumar los términos similares para hacer un solo término:

Ejemplo: 7x + x = 8x

Términos no similares

Si no son términos similares, simplemente se les llama "términos no similares":

Términos				Por qué no son "similares"
	-3xy	-3y	12y2	← estos son términos no similares (xy, y e y2 son todos diferentes)

Agosto15/2014

LECCIÓN 2. EXPONENTES

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Más ejemplos:

Ejemplo: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125

• En palabras: 5³ se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

• En palabras: 2⁴ se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 9⁶ es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación.

Así que, en general:

an te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's:

Exponentes negativos

¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.

Ejemplo: 8^-1 = 1 ÷ 8 = 0,125

O varias divisiones:

Ejemplo: 5^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008

Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:

5^-3 también se podría calcular así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5³ = 1/125 = 0,008

Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos: Calcula la potencia positiva (an) Después cacula el recíproco (o sea 1/an)

Más ejemplos:

Exponente negativo		Recíproco del exponente positivo		Respuesta
4-2	=	1 / 42	=	1/16 = 0,0625
10-3	=	1 / 103	=	1/1.000 = 0,001

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 9¹ = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 9⁰ = 1)

Tiene sentido

Mi método favorito es empezar con "1" y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0,2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y bastante sencillo) patrón.

Exponentes Negativos

A los exponentes también se los llama índices.

El exponente de un número nos dice cuántas veces debemos usar ese número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se podría llamar "8 elevado al 2" o simplemente "8 al cuadrado".

Entonces, en general:

an te dice que multipliques a por sí misma un número n de veces:

Pero esos son exponentes positivos, ¿qué pasa si tenemos algo como…?

8^-2

Este exponente es negativo ... ¿qué quiere decir?

Exponentes Negativos

¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!
La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación.
Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número.

Por ejemplo: 8^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

O muchas divisiones:

Por ejemplo: 5^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008

Pero se puede hacer de una forma más fácil:

5^-3 también podría calcularse así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5³ = 1/125 = 0,008

El ultimo ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes negativos: Calcula el exponente (an) Luego utiliza su Inverso (1/an)

Para cambiar el signo (más a menos, o menos a más) de el exponente usa el Recíproco (es decir, 1/aⁿ)

Entonces, ¿cómo sería 8^-2 ?

Por ejemplo: 8^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8² = 1/64 = 0,015625

Más ejemplos:

Exponente negativo		Inversa de un exponente positivo		Respuesta
4-2	=	1 / 42	=	1/16 = 0,0625
10-3	=	1 / 103	=	1/1.000 = 0,001

Todo Tiene Sentido

Mi método favorito es comenzar con “1” y luego multiplicar o dividir tantas veces como el exponente me diga. Así obtendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: Exponentes de 5
	.. etc..
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0,2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, el cero o los exponentes negativos son parte del mismo modelo (bastante simple).

Agosto 8/2014


LECCIÓN 1. LENGUAJE ALGEBRAICO

VEA PRIMERO LOS VÍDEOS DANDO CLIC AQUI: 

¿QUÉ ES ELALGEBRA?
ACABA CON LO PROBLEMAS VERBALES

El lenguaje algebraico es la forma matemática de expresar un enunciado formal o verbal de modo de planear un problema para ser resuelto.
Ejemplos.  Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados formales.

(1)    “El doble de un número”,                                    se representa por 2x.

(2)    “Un número aumentado en dos unidades”,             se representa por x+2.

(3)    “El cuadrado de un número desconocido”,             se representa por x².

Escribe en lenguaje algebraico los siguientes enunciados formales:

1.    El antecesor de un número

2.    El sucesor de un número                  

3.    Un número natural par

4.    Un número natural impar        

5.    La suma de dos números consecutivos         

6.    La suma de dos números pares consecutivos

7.    La suma de dos números impares consecutivo.

8.    La suma de dos números

9.    La diferencia de dos números

10. La diferencia positiva de dos números

11. El producto de dos números

12. El producto de la suma de dos números por su diferencia

13. El cuociente de dos números             

14. El inverso aditivo de un número

15. El recíproco de un número

16. Un número aumentado en 3 unidades 

17. Un número disminuido en 5 unidades

18. El doble de un número

19. El cuádruplo de un número

20. La mitad de un número

21. La tercera parte de un número

22. Los tres cuartos  de un número                  

23. El cuadrado de un número      

24. El cubo de un número            

25. La raíz cuadrada de un número         

26. El cuadrado del doble de un número   

27. El cuadrado de la suma de dos número

28. La suma de los cuadrados de dos números

29. El promedio de dos números             

30. La media proporcional de a y b         

31. La razón entre de dos números es 2:3

32. La media proporcional entre a y b      

33. El producto de dos números es 12     

34. El 22% de un número                      

35. El doble del producto de dos números 

36. Un número disminuido en su octava parte

37. El doble de un número aumentado en diez

38. El complemento de un ángulo     

                                   

Traduzca a enunciado verbal las siguientes expresiones algebraicas:

39. 3(x + y)

40. 3x + y

41. 2(x + y)² 

42. (a + b)² + (a – b)

43. S +  S                       

44. a  - 2b

45. 2x²y        

           

Exprese en forma algebraica y reduzca términos si es posible:

46. El perímetro de un rectángulo cuyo lado es 5 unidades más corto que el otro.

47. Las suma de las áreas de dos cuadrados  de lado a y el antecesor de a.

48. La suma de los volúmenes de dos cubos un de arista (m + n) y (m – n).

Resuelve los siguientes problemas de enunciado verbal.

49. Si al doble de cierto número se suma 6, el resultado es 4 unidades menos que el triple del número. ¿Cuál es el número?

50. Encontrar el número cuya sexta parte más su novena parte es 15.

51. La suma de tres números naturales consecutivos es 198. ¿Cuáles son dichos números?

52. La suma de tres números pares consecutivos es 84. ¿Cuáles son dichos números?