RESOLUCION DE TRIANGULOS (TRIGONOMETRIA)

Resolución de triángulos

Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/resolucion-triangulos/ 

Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, donde necesariamente uno de ellos debe de ser un costado.
Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos

Sea un triángulo con un lado y dos ángulos conocidos, por ejemplo a, B y C.

• El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:
  
  
• Los costados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno que:
  
  
  Por lo tanto, los lados b y c serán:
  
  
  
• 
  
• El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):
  
  

Resolución de triángulos conociendo dos costados y un ángulo

Se pueden presentar dos casos:

Se conocen dos costados y el ángulo que forman éstos

Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.

• El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:
  
  
• El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:
  
  
• El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el ángulo B es:
  
  
• El área del triángulo se calculará a partir de los costados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:
  
  

Se conocen dos costados y un ángulo diferente al que forman éstos

Sea un triángulo con dos costados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.

• El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema del seno que:
  
  
  Por lo tanto, el ángulo B es:
  
  
  
• El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
  
  
• Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el costado a:
  
  
• Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos costados y el ángulo que forman:
  
  

Resolución de triángulos conociendo los tres lados

Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.

• Por el teorema del coseno sabemos que:
  
  
  Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:
  
  
  
• De la misma manera y por el teorema del coseno, tenemos que:
  
  
  Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:
  
  
  
• El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triángulo es de 180º, por lo que C es:
  
  
• El área del triángulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:
  
  
  O bien, también puede calcularse mediante la fórmula de Herón, ya que los tres costados son conocidos:
  
  
  

Ejemplo

Sea un triángulo con dos costados y un ángulo conocidos, siendo éstos b=8 cm, c=7 cm y C=60º.

• Primero se calcula el ángulo B a partir del teorema del seno, mediante la fórmula:
  
  
  Y el ángulo B=81,79º.
• El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
  
  
  El ángulo A=38,21º.
• Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se calcula el costado a:
  
  
  Se obtiene que el lado a=5 cm.
• Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos costados y el ángulo que forman:
  
  
  Y el área es de 17,32 cm².